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and, are are at

basis basis

called called case case,

DEFINITION. DE $\mathrm{F}$ INITION. $\mathrm{D}\mathrm{E}\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{R}\mathrm{h}\mathrm{f}\mathrm{A}\mathrm{T}\mathrm{I}\mathrm{0}\mathrm{S}$ depend derivative developments do

each rDDNoe

fact, finite. fixed for for for for for for for for form functions

genus

has have hyperellipttc hyperelliptic hyperelliptic hyperelliptzc, hyperelliptic,

if If If if if if in In In in in injection injection is is is is is is is is is is is is

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$\mathrm{⌞}\mathrm{E}\mathrm{M}\mathrm{M}$ A. Let Let local local

map map map mapping

$\mathrm{|}{\mathit{\phi }}_{\mathrm{1}}\mathrm{,}\mathrm{\text{...}}\mathrm{.}{\mathit{\phi }}_{\mathrm{n}}\mathrm{\}}$ is $\mathrm{0}\mathrm{=}{\mathit{\nu }}_{\mathrm{1}}\mathrm{<}{\mathit{\nu }}_{\mathrm{2}}\mathrm{<}\mathrm{\text{...}}\mathrm{<}{\mathit{\nu }}_{\mathrm{n}}$. $\mathrm{q}$-Weierstrass $\mathrm{q}$ -Weierstrass ${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}$ : $\mathrm{S}\mathrm{\to }\mathrm{P}\mathrm{\left(}{\mathrm{B}}_{\mathrm{1}}\mathrm{\right(}\mathrm{\Gamma }\mathrm{,}\mathrm{U}{\mathrm{)}}^{\mathrm{*}}\mathrm{)}$

${\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{q}}$ : $\mathrm{S}\mathrm{\to }\mathrm{P}\mathrm{\left(}{\mathrm{B}}_{\mathrm{q}}\mathrm{\right(}\mathrm{\Gamma }\mathrm{,}\mathrm{U}{\mathrm{)}}^{\mathrm{*}}\mathrm{)}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{q}}$ : $\mathrm{S}\mathrm{\to }\mathrm{P}\mathrm{\left(}{\mathrm{B}}_{\mathrm{q}}\mathrm{\right(}\mathrm{\Gamma }\mathrm{,}\mathrm{U}\mathrm{)}$") $\mathrm{W}\mathrm{\left(}\mathrm{p}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{g}\mathrm{+}\mathrm{1}\mathrm{)}\mathrm{g}\mathrm{(}\mathrm{g}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}\mathrm{W}\mathrm{\left(}\mathrm{p}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{2}\mathrm{q}\mathrm{-}\mathrm{1}{\mathrm{)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{(}\mathrm{g}\mathrm{-}\mathrm{1}{\mathrm{)}}^{\mathrm{2}}\mathrm{g}$

$\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{q}\mathrm{S}\mathrm{S}\mathrm{S}\mathrm{S}\mathit{z}\mathit{\nu }\mathit{i}{\mathrm{\Phi }}_{\mathrm{1}}\mathrm{q}\mathrm{=}\mathrm{z}$. $\mathrm{g}\mathrm{=}\mathrm{2}{\mathrm{\Phi }}_{\stackrel{\mathrm{´}}{\mathrm{q}}}\mathrm{p}\mathrm{\in }\mathrm{S}\mathrm{q}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{q}\mathrm{\ge }\mathrm{1}\mathrm{q}\mathrm{\ge }\mathrm{1}\mathrm{q}\mathrm{>}\mathrm{1}\mathrm{q}\mathrm{>}\mathrm{1}{\mathit{\phi }}_{\mathit{i}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{s}$

$\mathrm{p}\mathit{\epsilon }\mathrm{S}\mathrm{,}$ $\mathrm{p}\mathit{\epsilon }$ S. $\mathrm{q}\mathrm{=}\mathrm{1}$ . $\mathrm{S}\mathrm{=}\mathrm{g}$. $\mathrm{\Sigma }$ $\mathrm{\Sigma }$ $\mathrm{1}\mathrm{\le }\mathit{i}\mathrm{\le }\mathrm{n}\mathrm{1}\mathrm{\le }\mathit{i}\mathrm{\le }\mathrm{n}$. ${\mathrm{B}}_{\mathrm{q}}\mathrm{(}\mathrm{\Gamma }\mathrm{,}\mathrm{U}\mathrm{)}\mathrm{p}\mathit{\epsilon }\mathrm{S}\mathrm{=}\mathrm{U}\mathrm{/}\mathrm{\Gamma }\mathrm{z}\mathrm{\left(}\mathrm{p}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{0}$.

$\mathrm{p}\mathit{\epsilon }\mathrm{S}\mathrm{p}\mathit{\epsilon }\mathrm{S}$

${\mathrm{B}}_{\mathrm{q}}\mathrm{(}\mathrm{\Gamma }\mathrm{,}\mathrm{-}\mathrm{U}\mathrm{)}{\mathit{\nu }}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(}\mathrm{p}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{1}$. ${\mathit{\nu }}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(}\mathrm{p}\mathrm{\right)}\mathrm{>}\mathrm{1}$. ${\mathit{\nu }}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(}\mathrm{p}\mathrm{\right)}\mathrm{>}\mathrm{1}\mathrm{:}{\mathit{\nu }}_{\mathrm{i}}\mathrm{\left(}\mathrm{p}\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{i}\mathrm{-}\mathrm{1}$

${\mathit{\phi }}_{\mathit{i}}\mathrm{\left(}\mathrm{z}\mathrm{\right)}\mathrm{\leftarrow }{\mathrm{z}}^{{\mathit{\nu }}_{\mathit{i}}}\mathrm{+}$ a $\mathrm{1}{\mathit{i}}^{{\mathrm{z}}^{{\mathit{\nu }}_{\mathit{i}\mathrm{+}\mathrm{1}}}\mathrm{+}}$ . . . $\mathrm{W}\mathrm{\left(}\mathrm{p}\mathrm{\right)}\mathrm{=}{\mathrm{2}}_{\mathit{i}\mathrm{=}\mathrm{1}}^{\mathrm{n}}\mathrm{\left(}{\mathit{\nu }}_{\mathrm{i}}\mathrm{\right(}\mathrm{p}\mathrm{)}\mathrm{-}\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{\left)}\mathrm{\right)}$ .

neighborhood non-vanishing not not not number numbers

$\mathrm{D}\mathrm{F}$ oe of of of of of of of on

159 (Weierstrass).

parameter parameter particular, Pick point point point. points points power precisely

$\mathrm{Reject}$

series such such aJwAR surfaces

that that The the the the the The The the the the the Then then then THEOREM

THEOREM. THEOREM. there this this those to two-to-one.

Unless unless unless

van-

where $\mathit{w}\mathit{h}\mathit{e}\mathit{r}\mathit{e}$